GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

RINGKASAN TEORI a Gradien garis lurus adalah gradien garis lurus atau koefisien garis adalah ukuran kemiringan suatu garis terhadap sumbu x positif. Gradien garis lurus umumnya dinyatakan dengan : m Perhatikan gambar —m₁ > m₂ ; kemiringan garis 2 terhadap sumbu x > kemiringan garis 1 ,artinya garis 2 lebih dekat ke sumbu y dari pada garis 1 Menentukan Gradien garis lurus Persamaan umumnya : Contoh : tentukan gradien garis lurus dari persamaan berikut : a. 4x + 2y = 0 b. y = 3x + 2 c. -10x + 5y + 20 = 0 Jawab : —a. 4x + 2y = 0 4x – 4x + 2y = - 4x + 0 dikali -4x masing-masing ruas. 0 + 2y = -4x + 0 2y = -4x                        y = -2x y = mx + c m = -2 dan c = 0 artinya garis melalui titik pusat O (0 , 0) Cara lain : 4x + 2y = 0 pindah ke ruas kanan menjadi : 2y = -4x + 0 2y = -4x y = -2x y = 3x + 2 sudah berbentuk y =... y = mx + c m = 3 dan c = 2 c. -10x + 5y + 20 = 0 pindah ke ruas kanan 5y = 10x – 20 y = 2x – 4 m = 2 dan c = 4 Menentukan Gradien dari titik koordinat Gradien garis lurus yg melalui dua titik koordinat , misalnya titik A (x₁ , y₁) dan titik B (x₂ , y₂) dapat dirumuskan sbb : y2 - y1 M AB = -------------- x2 - x1 Contoh : —Tentukan gradien garis lurus yg melalui: a. Titik P(3, 6) dan Q(5, -8) b. Titik A(2, 4) dan titik pusat O(0, 0) Jawab : P(x₁ , y₂) = P(3 ,6) dan Q(x₂ , y₂) = (5, -8) a. y2 - y1 (-8) - (-6) M PQ = ------------ = ----------------- x2 - x1 5 - 3 = (-14) / 2 = -7 b. A(x₁ , y₁) = A(2, 4) dan O(x₂, y₂) =(0,0) y2 - y1 0 - 4 M AO = ------------- = ----------- x2 - x1 0 - 2 = (-4) / (-2) = 2 LATIHAN : 1. Gradien garis yg melalui titik (2, 1) dan (4, 7) adalah.........? Jawab : (x₁ , y₁) = (2, 1) (x₂ , y₂) = (4 , 7) Gradien garis yg melalui titik-titik tersebut adalah : y2 - y1 7 - 1 6 m = ----------- = ---------- = ------ = 3 x2 - x1 4 - 2 2 Gradien garis 3x + 5y – 6 = 0 adalah..........? Jawab : 3x + 5y – 6 = 0 5y = -3x + 6 y = - 3/5x + 6/5 y = - 3/5 Menentukan Persamaan Garis Lurus A Persamaan garis lurus melalui titik (x₁, y₁) dan titik (x₂, y₂) Rumus : y2 - y1 y - y1    = ----------- ( x - x1 ) x2 - x1 dimana ; y2 - y1 Gradien = m = --------------- x2 - x1 —.Tentukan persamaan garis yg melalui titik —. P(3,6) dan titik Q(5,-8) —.Jawab : P(x₁, y₁) = P(3, 6) —. Q(x₂, y₂) = Q(5, -8) y2 - y1 m = y - y1 = ----------- ( x - x1 ) x2 - x1 (-8) - (6) y - 6 = -------------- ( x - 3 ) 5 - 3 ( - 14 ) y - 6 = -------------- ( x - 3 ) 2 y - 6 = - 7 ( x - 3 ) y - 6 = - 7x + 21 y = -7x + 21 + 6 y = -7x + 27 Persmaan garis yg melalui titik (x₁, y₁) dan gradien garis lurus : Rumus : y - y1 = m(x - x1) dimana ; m = gradien Contoh : Tentukan persamaan garis yg melalui titik A(1 , 2) & gradien garis m= -2 —Jawab : A(x₁, y₁) = m(1 , 2) — m = -2 —Persamaan garis yg melalui titik A : —y – y₁ = m(x – x₁) —y – 2 = -2(x – 1) —y – 2 = -2x + 2 — y = -2x + 2 + 2 — y = -2x + 4 Membuat grafik garis lurus —Persamaan garis lurus secara umum dinyatakan dalam bentuk : ax + by + c = 0 Cara membuat grafik garis lurus yg telah diketahui : 1 Tentukan titik potong garis pada masing-masing sumbu : - memotong sumbu x syarat y = 0 - memotong sumbu y syarat x = 0 2 Tarik garis dan hubungkan titik potong masing masing sumbu. Contoh : Buatlah grafik garis x + 2y = 4 Jawab : x + 2y = 4 —.Titik potong pd masing-masing sumbu: —. - memotong sumbu x : syarat y = 0 —. x + 2(0) = 4 y —. x = 4 —.titik potong sumbu x:(4, 0) —.- memotong sumbu y : syarat x = 0 2 —. 0 + 2y = 4 —. Y = 2 —.titik potong sumbu y : (0 , 2) Hubungan Antar Garis —Dua buah garis lurus dengan persamaan y₁ = m₁x + c₁ dan y₂ = m₂ + c₂ , hubungannya sebagai berikut : —A Bila sejajar syaratnya : m₁ = m₂ —B Tegak lurus syaratnya : m₁ x m₂ = -1 Contoh : Persamaan garis yg melalui titik (-2, 3) dan tegak lurus garis 2x + 2y = 6 adalah.......? —Jawab : Garis-1 melalui titik (-2, 3) — Garis-2 melalui titik 2x + 3y = 6 —Hubungan kedua garis tegak lurus, berlaku : —m₁ x m₂ = -1 .........................(i) —Gradien garis 2x + 3y = 6 : —2x + 3y = 6 — 3y = -2x + 6 — y = - 2/3x + 2 — m₂ = - 2/3 ........................(ii) —Substitusikan pers. (ii) ke pers. (i) diperoleh : —m₁ x m₂ = -1 —m₁ x (- 2/3) = -1 m₁ = 3/2 .................(iii) Persamaan garis yg melalui titik (-2, 3) dengan gradien m₁ = 3/2 adalah : — y – y₁ = m(x – x₁) — y – y₁ = 3/2 (x – (-2)) —2(y – 3) = 3(x – (-2)) — 2y – 6 = 3(x + 2) — 2y – 6 = 3x + 6 — 2y = 3x + 6 + 6 — 2y = 3x + 12 2y – 3x – 12 = 0 LATIHAN : 1.Garis 1 sejajar dengan garis 2x + 5y – 1 = 0 dan melalui titik (2 , 3) Persamaan garis adalah ........? Jawab : Garis 1 : melalui titik (2 , 3) Garis 2 : 2x + 5y – 1 = 0 Hubungan kedua garis sejajar berlaku : m₁ = m₂ ........................(i) Gradien garis-2 (m₂) : 2x + 5y – 1 = 0 5y = - 2x + 1 y = - 2/5x + 1/5 m₂ = - 2/5 ..................................(ii) —Substitusi pers. (ii) ke pers. (i), diperoleh : —m₁ = m₂ —m₂ = - 2/5 ............................(iii) —Persamaan garis yg melalui titik (2, 3) dengan gradien m₁ = - 2/5 : —y – y₁ = m(x – x₁) —y – 3 = - 2/5 (x – 2) —5(y – 3) = -2(x – 2) —5y – 15 = -2x + 4 — 5y = -2x +4 + 15 — 5y = -2x + 19 — 5y + 2x – 19 = 0 2Persamaan garis lurus yg melalui titik (2, 5) dan tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah...........? 3Diketahui : A(3, 4) , B(2, -7), dan C(a ,5). Jika garis yg melalui titik A dan B tegak lurus garis yg melalui titik B dan C , nilai a adalah..............? 4Gradien persamaan garis x/6 + y/3 = 1 adalah........ 5Diketahui garis ax + 3y – 5 = 0 dan 2x – by – 9 = 0. Jika kedua garis itu berpotongan di titik (2, -1) , nilai a+b = ...................?