Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti
bilangan dan
titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan
Benjamin Peircemenyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".
[5]Di pihak lain,
Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."
[6]
Matematika selalu berkembang, misalnya di
Cina pada tahun 300
SM, di
India pada tahun 100
M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman
Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan
penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.
[7]
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk
ilmu alam,
teknik,
kedokteran/
medis, dan
ilmu sosial seperti
ekonomi, dan
psikologi.
Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti
statistika dan
teori permainan.
Para matematikawan juga bergulat di dalam
matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.
[8]
Kata "matematika" berasal dari
bahasa Yunani Kuno μάθημα (
máthēma), yang berarti
pengkajian,
pembelajaran,
ilmu, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (
mathēmatikós),
berkaitan dengan pengkajian, atau
tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti
matematis. Secara khusus,
μαθηματικὴ Ï„Îχνη (
mathēmatikḗ tékhnē), di dalam
bahasa Latin ars mathematica, berarti
seni matematika.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam
bahasa Inggris, seperti juga di dalam
bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal
la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral
mathematica (
Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (
ta mathēmatiká), yang dipakai
Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".
[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda
mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai
math di Amerika Utara dan
maths di tempat lain.
Sebuah
quipu, yang dipakai oleh
Incauntuk mencatatkan bilangan.
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan
abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang
[10], adalah tentang
bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan
sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan
Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data
Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi
teorema matematika baru beserta
bukti-buktinya."
[12]
[sunting]Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam
perdagangan,
pengukuran tanah, dan kemudian
astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang
fisikawan Richard Feynmanmenemukan
rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan
teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat
gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.
[13]
Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang
Eugene Wigner memanggilnya sebagai "
Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".
[14]
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara
matematika murni dan
matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program
sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk
statistika,
riset operasi, dan
ilmu komputer.
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang
keanggunan matematika,
estetika yang tersirat, dan
keindahan dari dalamnya.
Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan
bukti yang diberikan, semisal bukti
Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya
bilangan prima, dan di dalam
metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni
transformasi Fourier cepat.
G. H. Hardy di dalam
A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.
[15]
Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian
Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "
Alkitab" di mana
Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.
[16][17] Kepopularan
matematika rekreasiadalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.
[sunting]Notasi, bahasa, dan kekakuan
Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa
Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.
[18] Pada abad ke-18,
Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti
notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.
Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti
atau dan
hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal
terbuka dan
lapangan memberikan arti khusus matematika.
Jargon matematikatermasuk istilah-istilah teknis semisal
homomorfisme dan
terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (
rigor).
Kaku secara mendasar adalah tentang
bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "
teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.
[19] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu:
bangsa Yunanimenginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan
Isaac Newtonkuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang
bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.
[20]
Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai
lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu
sistem aksioma. Inilah tujuan
program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut
Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang
tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu
aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali
teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.
[21]
[sunting]Matematika sebagai ilmu pengetahuan
Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".
Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".
[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin
Regina Scientiarum, juga di dalam
bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan
ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan
alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang
ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya
matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.
Albert Einstein menyatakan bahwa
"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."
[6]
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah
terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi
Karl Popper.
[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya
fisika dan
biologi, adalah
hipotetis-
deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."
[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja
Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi
pemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya
fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis,
J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah
pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.
[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan.
Intuisi dan
percobaan juga berperan penting di dalam perumusan
konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).
Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan
metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002
A New Kind of Science,
Stephen Wolframberdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara
empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh
seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan
rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.
Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika
diciptakan (seperti di dalam seni) atau
ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi
universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen
Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam
filsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah
Fields Medal (medali lapangan),
[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan
Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.
Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya,
Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.
Sebuah daftar terkenal berisikan 23
masalah terbuka, yang disebut "
masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman
David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.
Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "
Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah
US$ 1 juta, dan hanya satu (
hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.
[sunting]Bidang-bidang matematika
Sebuah
sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa
astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni
aritmetika,
aljabar,
geometri, dan
analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke
logika, ke
teori himpunan (
dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (
matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan
ketakpastian.
-
Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan
polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian
grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang.
Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan.
Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan
konjektur poincaré yang telah lama ada dan
teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.
-
Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai
persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan
sistem dinamika;
teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku
deterministik yang masih saja belum terdugakan.
Banyak objek matematika, semisal
himpunan bilangan dan
fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian
grup,
gelanggang,
lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan
aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni
vektor, diperumum menjadi
ruang vektor, dan dikaji di dalam
aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang.
Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan.
Kalkulus tensor mengkaji
kesetangkupan dan perilaku vektor yang di
rotasi. Sejumlah masalah kuno tentang
Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh
Teori galois.
-
[sunting]Dasar dan filsafat
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja
aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi
Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu
sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika
suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka
tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan
di dalam sistem itu).
Gödel menunjukkan cara mengonstruksi,
sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam
teori rekursi,
teori model, dan
teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan
ilmu komputer teoretis.
-
[sunting]Matematika diskret
Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan
perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal
pemadatan dan
entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "
P=NP?", salah satu
Masalah Hadiah Milenium.
[29]-
[sunting]Matematika terapan
Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam
ilmu pengetahuan,
bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah
statistika, yang menggunakan
teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana
peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak
statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)
Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian
galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.
- ^ Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euklides yang dibuat selama masa hidupnya yang masih bertahan sebagai kekunoan. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada daya khayal seorang seniman (lihat Euklides).
- ^ Lynn Steen (29 April 1988). The Science of Patterns Jurnal Science, 240: 611–616. dan diikhtisarkan di Association for Supervision and Curriculum Development., ascd.org
- ^ Keith Devlin, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
- ^ Jourdain.
- ^ Peirce, p.97
- ^ a b Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam.
- ^ Eves
- ^ Peterson
- ^ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary
- ^ S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain,Trends in Neuroscience, Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361.http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.
- ^ Kline 1990, Chapter 1.
- ^ Sevryuk
- ^ Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. Oxford University Press.
- ^ Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences," Komunikasi pada Matematika Murni dan Terapan 13(1): 1–14.
- ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press.
- ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA.
- ^ Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001). Proofs from the Book. Springer.
- ^ Penggunaan Aneka Lambang Matematika Terdini (memuat banyak referensi yang lebih jauh)
- ^ Lihatlah bukti palsu untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. sejarah Teorema Empat Warnaberisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.
- ^ Ivars Peterson, Wisatawan Matematika, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).
- ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Di antara banyak cabang matematika modern, teori himpunan menduduki tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dikaji dan dianalisis di dalam matematika dapat dipandang sebagai himpunan khusus atau kelas-kelas objek tertentu."
- ^ Waltershausen
- ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hlm. 228.
- ^ Popper 1995, p. 56
- ^ Ziman
- ^ "Fields Medal kini disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika." Monastyrsky
- ^ Riehm
- ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.
- ^ Clay Mathematics Institute P=NP
- Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000).ISBN 0-19-513919-4.
- Boyer, Carl B., A History of Mathematics, Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
- Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
- Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A gentle introduction to the world of mathematics.
- Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity (Geometry and Experience). P. Dutton., Co.
- Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
- Gullberg, Jan, Mathematics — From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
- Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [1].
- Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
- Kline, Morris, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990).ISBN 0-19-506135-7.
- Monastyrsky, Michael. "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF). Canadian Mathematical Society. Diakses pada 28 Juli 2006.
- Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
- The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
- Pappas, Theoni, The Joy Of Mathematics, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
- Peirce, Benjamin. "Linear Associative Algebra". American Journal of Mathematics (Vol. 4, No. 1/4. (1881). JSTOR.
- Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
- Paulos, John Allen (1996). A Mathematician Reads the Newspaper. Anchor. ISBN 0-385-48254-X.
- Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.
- Riehm, Carl (August 2002). "The Early History of the Fields Medal"(PDF). Notices of the AMS (AMS) 49 (7): 778–782.
- Sevryuk, Mikhail B. (January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 43 (1): 101–109.doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Diakses pada 24 Juni 2006.
- Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.
- Ziman, J.M., F.R.S.. "Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science".
- Preceptorial Kumpulan materi dan soal matematika SD, SMP, SMA
- Sejarah Matematika
- Buku-buku matematika bebas Kumpulan buku matematika bebas.
- Penerapan Aljabar SMA
- Encyclopaedia of Mathematics ensiklopedia online dari Springer, Karya referensi pascasarjana dengan lebih dari 8.000 judul, mencerahkan hampir 50.000 gagasan di dalam matematika.
- Situs HyperMath di Georgia State University
- Perpustakaan FreeScience Bagian matematika dari perpustakaan FreeScience
- Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. Panduan wisata melalui aneka macam matematika modern. (Juga dapat ditemukan di sini.)
- Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations. Sebuah sumber online yang memusatkan perhatian pada fisika matematika aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, integral, dan persamaan-persamaan matematika lainnya.
- Cain, George: Buku teks Matematika Online tersedia online secara bebas.
- Matematika dan Logika: Searah matematika formal, gagasan-gagasan logis, linguistik, dan metodologis. Di dalam Kamus Sejarah Gagasan.
- Riwayat Hidup Matematikawan. Arsip Sejarah Matematika MacTutor sejarah ekstensif dan kutipan dari matematikawan termasyhur.
- Metamath. Sebuah situs dan sebuah bahasa, yang memformalkan matematika dari dasar-dasarnya.
- Nrich, sebuah situs peraih hadiah bagi para siswa berusia sejak lima tahun dari Universitas Cambridge
- Taman Masalah Terbuka, sebuah wiki dari masalah matematika terbuka
- Planet Math. Sebuah ensiklopedia matematika online yang masih dibangun, memusatkan perhatian pada matematika modern. MenggunakanGFDL, memungkinkan pertukaran artikel dengan Wikipedia. Menggunakan pemrograman TeX.
- Beberapa aplet matematika, di MIT
- Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. Sebuah ensiklopedia online matematika.
- Patrick Jones' Tutorial Video tentang Matematika
Dan ini bukti penerimaan uang yang sudah masuk di akun paypal saya.
Artikel utama untuk bagian ini adalah: 
